Algoritmos iterativos: método del gradiente conjugado para calcular el mínimo de una función bidimensional cuadrática.

   

    Jorge Igual García

Objetivo:
Aprender cómo funciona el método del gradiente conjugado para un caso práctico correspondiente a una función bidimensional cuadrática. Comprobar que en cada iteración la función va disminuyendo de valor, acercándose al mínimo; en cada iteración las direcciones son ortogonales (conjugadas) y en dos iteraciones se obtiene la solución.

Introducción:
El método del gradiente conjugado es un tipo de algoritmo iterativo que se suele usar para minimizar funciones f(x), es decir, para encontrar las x donde el valor de la función es mínimo, en especial funciones cuadráticas donde sólo hay un mínimo global. Se obtiene moviendo el punto x en la dirección opuesta a la de máxima variación, es decir, en la dirección opuesta al gradiente en dicho punto, x(n+1)=x(n)-a*f'(x(n)). La diferencia con el método del gradiente descendente es que el parámetro "a" no es heurístico, sino que se obtiene como aquél que minimiza la función en dicha dirección; de esta forma se consigue que iteraciones sucesivas sean ortogonales (conjugadas).

Instrucciones:
Probar diferentes valores iniciales de x_1 y x_2 entre -6 y 6, y observar la convergencia del algoritmo (se representan las curvas de nivel, que corresponden a elipses, y la trayectoria para 2 iteraciones pues la función es cuadrática y en dos iteraciones converge). Obsérvese como las direcciones son ortogonales y los valores obtenidos corresponden a los mínimos de la función en la dirección correspondiente al gradiente.

                    

valor
inicial
de x1



valor
inicial
de x2




 
 

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