Atractor extraño de Lorenz

Autor/a, Autores/as: Joaquín Izquierdo Sebastián (jizquier@gmmf.upv.es). CMMF

Los atractores, son patrones en un espacio matemático abstracto que describen el comportamiento de los sistemas a lo largo de su recorrido. Los atractores dibujan los distintos tipos de comportamientos que pueden tener lugar en un sistema teniendo en cuenta las condiciones que afectan a ese sistema. De alguna manera capturan las soluciones, tambien llamadas órbitas, del sistema. A la transición de un atractor a otro se le llama bifurcación. En la teoría del caos, los sistemas dinámicos se estudian a partir de su "Espacio de Fases", es decir, la representación coordenada de sus variables dependientes. En estos sistemas caóticos es fácil encontrar trayectorias de movimiento no periódico, pero cuasi-periódicas. A los atractores de estos sistemas se les suele llamar "atractores extraños", que son trayectorias (órbitas) en el espacio de fases hacia las que suelen tender todas las trayectorias normales. Los atractores extraños suelen tener formas geométricas caprichosas, y en muchos casos parecidos o similitudes a diferentes escalas. A estas formas que son iguales a sí mismas en diferentes escalas se les llama "objetos fractales".

Edward N. Lorenz descubrió accidentalmente el comportamiento caótico cuando trabajaba con un sistema de ecuaciones diferenciales que era un modelo simplificado de ciertos fenómenos meteorológicos. Las ecuaciones de Lorenz representan el movimiento convectivo de un fluido que recibe calor por debajo y tiene condiciones más frías por encima. El mismo sistema se puede aplicar a las dinamos y al láser, entre otras aplicaciones. Las ecuaciones de Lorenz se presentan habitualmente como un sistema acoplado de tres ecuaciones diferenciales ordinarias x'=a(y-x), y'=x(b-z)-y, z'=xy -cx con tres funciones incógnita x(t), y(t) y z(t). Los tres parámetros a, b y c son positivos.
Son

a = número de Prandtl (Lorenz lo tomó como 10)
b = número de Rayleigh (Lorenz lo tomó como 28)
c es una cierta proporción física (Lorenz lo tomó como 8/3)

Elija un valor positivo para b hasta 250 (a y c se mantienen fijos). Al variar b tendra que ir observando cambios importantes en la forma y en el comportamiento de las soluciones (haga variar b de forma creciente)
Elija también un par de condiciones iniciales (-100 < x(0),y(0),z(0) < 100). Si las elige iguales verá la órbita común. Si las elige (ligeramente) distintas podrá ver cómo para algunos valores de b, las órbitas se separan inesperademente.
Elija también entre:
a) representacion en el plano de fases xyz
b) representacion de las proyecciones xz e yz
Finalmente elija la 'duración' de la simulación, T (entre 20 y 40).

(Nota: Si no toma valores en los rangos dados, se asignarán los valores por defecto.)

Laboratorio virtual

b x0 y0 z0 x00 y00 z00 T rep Solución x,y,z para la CI-1 Soluciones de x para las dos CIs